Zbieżność w sensie dystrybucyjnym

Definicja 1:

Ciąg dystrybucji \( \hskip 0.3pc \{T_k\} \subset D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \) nazywa się zbieżnym do dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \), jeśli

(1)

\( \displaystyle\lim_{k \to \infty}\langle T_k,\varphi\rangle = \langle T,\varphi \rangle . \)

dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in {\cal D}(\Omega). \)

Zauważmy, że jest to klasyczna zbieżność punktowa na \( \hskip 0.3pc D(\Omega).\hskip 0.3pc \)

Ciąg \( \hskip 0.3pc \{\psi_k\}\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc \psi_k= (k/2) 1_{[- 1/k,\, 1/k]}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny w powyższym sensie do dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.1pc \)-Diraca.

Istotnie dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \)

\( \displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\int_{\mathbb R}\psi_k (x) \varphi (x)dx= \displaystyle\lim_{k\to \infty}\dfrac k2\displaystyle\int_{-1/k}^{1/k} \varphi (x)dx=\varphi (0)= \langle \delta, \varphi \rangle . \)

Definicja 2:

Ciąg lokalnie całkowalnych funkcji \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \) nazywa się zbieżnym dystrybucyjnie do lokalnie całkowalnej funkcji \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) jeśli

\( \displaystyle\lim_{k \to \infty}\displaystyle\int_{\mathbb R}f_k(x)\varphi (x)dx= \displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\varphi (x)dx. \)

dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc\,\varphi \in {\cal D}(\Omega). \)

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \) będzie ciągiem funkcji lokalnie całkowalnych, który jest zbieżny do funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) w przestrzeni \( \hskip 0.3pc L_{loc}^1 (\Omega).\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wtedy odpowiadający mu ciąg dystrybucji \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do dystrybucji \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Istotnie, dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) mamy

\( \Big|\displaystyle\int_{\Omega}f_k(x)\varphi (x)dx-\displaystyle\int_{\Omega}f(x)\varphi (x)dx \Big| \leq \displaystyle\int_{\Omega}|f_k(x)-f(x)|\,|\varphi (x)|dx\leq \|\varphi \|_{\infty}\displaystyle\int_K|f_k(x)-f(x)|dx, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc K={\rm supp}\, \varphi. \hskip 0.3pc \)

Zgodnie z przyjętymi założeniami, całka po prawej stronie dąży do zera gdy \( \hskip 0.3pc k \to \infty,\hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc \langle f_k,\varphi\rangle \to \langle f,\varphi\rangle.\hskip 0.3pc \) Ponieważ funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest dowolna, oznacza to, że ciąg dystrybucji \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do dystrybucji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \).

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że ciąg \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\subset L^1_{loc}(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest punktowo zbieżny do funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i ponadto \( \hskip 0.3pc |f_k(x)|\leq g(x),\hskip 0.3pc \) \( x \in \Omega,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.1pc k \in \mathbb N,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją lokalnie całkowalną.

TEZA:

Wtedy ciąg \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny dystrybucyjnie do \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i ponadto, funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest również lokalnie całkowalna.

DOWÓD:

Twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia Lebesgue'a o przejściu granicznym pod całką.

Uwaga 1:

Warto podkreślić, że zbieżność punktowa i zbieżność dystrybucyjna nie są w wyrażny sposób od siebie zależne. Jedna z nich może zachodzić, a druga nie mieć miejsca, a nawet gdy obie mają miejsce, to granice mogą być różne. Pokazują to poniższe przykłady.

Przykład 2:

Rozważmy ciąg funkcji \( \hskip 0.3pc \{f_k\},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc f_k(x)=\sin( kx).\hskip 0.3pc \) Oczywiście ciąg ten nie jest punktowo zbieżny, natomiast w sensie dystrybucyjnym jest zbieżny do zera.

Istotnie, po scałkowaniu przez części mamy

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\sin( kx)\, \varphi (x)dx = \dfrac 1k cos (kx)\, \varphi(x)\big|_{-\infty}^{+\infty}+\dfrac 1k \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\cos( kx)\, \varphi ^\prime(x)dx=\dfrac 1k \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\cos( kx)\, \varphi ^\prime(x)dx. \)

Zauważmy, że przy \( \hskip 0.3pc k\to \infty\hskip 0.3pc \) prawa strona dąży do zera, bowiem

\( \big|\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\cos (kx)\, \varphi ^\prime(x)dx\big| \leq \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}| \varphi ^\prime(x)|dx\,<\,+\infty \)

(ostatnia nierówność wynika z faktu, że \( \hskip 0.3pc \varphi^\prime\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą a jej nośnik jest zbiorem zwartym). Nietrudno też sprawdzić, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc m \in \mathbb N\hskip 0.3pc \)

\( \displaystyle\lim\limits_{k\to \infty} k^m \sin (kx) =0 \)

w sensie dystrybucyjnym. Wystarczy zastosować \( \hskip 0.3pc m+1\hskip 0.3pc \) razy wzór na całkowanie przez części a następnie wykorzystać powyższe oszacowanie z \( \hskip 0.3pc \varphi^{(n+1)}\hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc \varphi ^\prime\hskip 0.3pc \).

Przykład 3:

Ciąg funkcji

(2)

\( \psi_k (x) =\begin{cases}k^2, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.3pc\, |x| \leq 1/k ,\\0, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.3pc\, |x|>1/k \end{cases} \)

jest punktowo zbieżny dla \( \hskip 0.3pc x\neq 0\hskip 0.3pc \) ( \( \hskip 0.1pc \psi_k (x)\to 0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\neq 0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \psi_k (0)\to +\infty \hskip 0.1pc \)), natomiast nie jest dystrybucyjnie zbieżny (ciąg \( \hskip 0.3pc \{\langle \psi_k, \varphi \rangle\}\hskip 0.3pc \) jest rozbieżny, jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi (0) \neq 0\hskip 0.3pc \)).

Przykład 4:

Dla \( \hskip 0.3pc k \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) połóżmy \( \hskip 0.3pc \psi_k=k\,1_{[0,1/k]}.\hskip 0.3pc \) Nietrudno sprawdzić, że ciąg \( \hskip 0.3pc \{\psi_k\}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucyjnie zbieżny do \( \hskip 0.3pc \delta.\hskip 0.3pc \) Rozważmy teraz ciąg \( \hskip 0.3pc \{\psi^2_k\}.\hskip 0.3pc \) Dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) mamy

\( \displaystyle\int_{\mathbb R}\psi_k^2(x)\varphi (x) \,dx=k^2\displaystyle\int_0^{\dfrac 1k}\varphi (x)\,dx= k\varphi (\xi_k ), \)

gdzie wartość \( \hskip 0.3pc \xi_k\in [0,1/k]\hskip 0.3pc \) jest wybrana zgodnie z twierdzeniem o wartości średniej dla całek. Jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi (0)\neq 0,\hskip 0.3pc \) to rozważany ciąg jest rozbieżny, zatem ciąg \( \hskip 0.3pc \{\psi^2_k\}\hskip 0.3pc \) jest rozbieżny w sensie dystrybucyjnym.

Podobnie ciąg \( \hskip 0.3pc \{\chi_k\},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \chi_k(x)=\psi_k (x^2),\hskip 0.3pc \) czyli

\( \chi_k(x)=k\,1_{\big[0,\,1/\sqrt{k}\big]} \)

nie jest zbieżny w sensie dystrybucyjnym.

Ostatni przykład sugeruje, że definicja iloczynu i złożenia dystrybucji winna napotkać na trudności. Istotnie zobaczymy poniżej, że operacje takie udaje się zdefiniować tylko dla szczególnych przypadków.

Zachodzi następujące ważne twierdzenie, które przytaczamy bez dowodu.

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc T \in D^*(\Omega).\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Istnieje ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi _k\}\subset D(\Omega )\hskip 0.3pc \) taki, że

\( \displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\int_{\Omega} \varphi _k(x) \varphi (x)\,dx=\langle T,\varphi \rangle \qquad {\rm dla}\quad \varphi \in D(\Omega). \)

Matematyka

Zbieżność w sensie dystrybucyjnym

Definicja 1:

Przykład 1:

Definicja 2:

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Uwaga 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Przykład 4:

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: